坐标变换

线性代数基础

任意 n 阶段矩阵 M 可以看成由 n 个列向量 c₁ c₂ ... c_n 组成：

$$M = \begin{bmatrix} \mathbf{c_1} & \mathbf{c_2} & ... & \mathbf{c_n} \\ \end{bmatrix}$$

将这 n 个列向量进行线性变换后所能表示的向量记为 v 有：

$$v = k_1\mathbf{c_1}+k_2\mathbf{c_2}+...+k_n\mathbf{c_n}$$

所有 v 构成的向量空间记为 R

相关信息

秩

表示由矩阵的列向量所能构成的向量所组成的向量空间 R 的维度

行列式

表示该矩阵对空间进行变换的缩放程度，例如，2 阶矩阵表示面积的缩放，3 阶矩阵表示体积的缩放 如果行列式为 0，表示该矩阵变换进行了降维操作(即秩⬇)，因此此时矩阵不可逆 如果行列式 < 0，表示该矩阵变换进行了翻转操作

基本变换

线性变换定义

$$\begin{aligned} f(x)+f(y) &= f(x+y) \\ kf(x) &= f(kx) \end{aligned}$$

对于任意矩阵 M 以及向量 x y 满足：
Mx + My = M(x+y)
kM(x) = M(kx)
因此 M 也满足线性变换

平移

$$\mathbf{T}(\mathbf{t}) = \mathbf{T}(t_x,t_y,t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

旋转

$$\mathbf{R}_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & -sin\phi & 0 \\ 0 & sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{R}_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos\phi & 0 & sin\phi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin\phi & 0 & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{R}_z(\phi) = \begin{pmatrix} cos\phi & -sin\phi & 0 & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

定理

任意 3x3 旋转矩阵都是标准正交矩阵，且行列式等于 1

推导

给定由一组标准正交基所组成的矩阵 A 以及任意 3x3 旋转矩阵 R，其旋转之后仍然是一组标准正交基，可得：

$$(RA)(RA)^T=RAA^TR^T = RR^T=I$$

缩放

$$\mathbf{S}(\mathbf{s}) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

剪切

$$\mathbf{H}_{xz}(s) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & s & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

法线变换

记 n 和 t 为变换前的法线和切线，n' 和 t' 为变换后的法线和切线，M 为顶点变换矩阵，S 为法线变换矩阵

$$\begin{aligned} n'^T t' = (Sn)^T(Mt) = n^T S^TMt = 0 = n^T t \end{aligned}$$

则

$$S^T M = I \Rightarrow S = (M^{-1})^T$$

当 M 只包含旋转和统一缩放变换时，S = M

视图变换

如图，假定相机位置在 c，单位向量 r，u，v 表示相机的旋转朝向

提示

由于相机和物体之间的相对位置是固定不变的，我们可以先对整体一起进行矩阵变换，使得相机位于原点且朝向从 <r，u，v> 变换为 <x，y，z> （当然也可以变换为 x，y，-z）

1. 先将相机平移到原点

$$T_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & 0 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 & -t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

2. 将朝向从 <r，u，v> 变换为 <x，y，z>

提示

可以单独考虑每个向量，我们希望通过一个旋转矩阵变换将 r → x（<1,0,0>）, u → y（<0,1,0>）, v → z（<0,0,1>），因为 r，u，v 是标准正交向量，所以 r·r = u·u = v·v = 1，且两两之间的点积为 0

综上，可以推导出对应的旋转矩阵

$$R_{view} = \begin{pmatrix} \mathbf{r}^T & 0 \\ \mathbf{u}^T & 0 \\ \mathbf{v}^T & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_x & r_y & r_z & 0 \\ u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

3. 视图变换矩阵

$$\begin{aligned} M_{view} = R_{view} T_{view} &= \begin{pmatrix} r_x & r_y & r_z & 0 \\ u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & 0 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 & -t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} r_x & r_y & r_z & -\mathbf{t}\cdot\mathbf{r} \\ u_x & u_y & u_z & -\mathbf{t}\cdot\mathbf{u} \\ v_x & v_y & v_z & -\mathbf{t}\cdot\mathbf{v} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

投影矩阵

正交投影

提示

正交投影的目标是将由（l,r,b,t,n,f）所表示的 AABB 变换到以原点为中心的标准 AABB，在 OpenGL 中标准 AABB 为 (-1,-1,-1) - (1,1,1)，在 DirectX 中标准 AABB 为 (-1,-1,0) - (1,1,1)

注意

上图中相机看向 -z 的方向，因此有 0 > n > f； 如果相机看向 +z 的方向，那么 0 < n < f，并且投影矩阵公式也会有所不同，以下公式推导基于相机看向 +z 方向

OpenGL

$$\begin{aligned} \mathbf{P}_{o[-1,1]} = \mathbf{S}(\mathbf{s})\mathbf{T}(\mathbf{t}) &= \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\[3px] 0 & 0 & \frac{2}{f - n} & 0 \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{l + r}{2} \\[3px] 0 & 1 & 0 & -\frac{b + t}{2} \\[3px] 0 & 0 & 1 & -\frac{n + f}{2} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{2}{f - n} & \frac{n + f}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

DirectX

$$\begin{aligned} \mathbf{P}_{o[0,1]} = \mathbf{M}_{st}\mathbf{P}_{o[-1,1]} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[3px] 0 & 1 & 0 & 0 \\[3px] 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{2}{f - n} & \frac{n + f}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{1}{f - n} & \frac{n}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

透视投影

提示

透视投影的目标是将由（l,r,b,t,n,f）所表示的视锥体变换到以原点为中心的标准 AABB，在 OpenGL 中标准 AABB 为 (-1,-1,-1) - (1,1,1)，在 DirectX 中标准 AABB 为 (-1,-1,0) - (1,1,1)

注意

上图中相机看向 -z 的方向，因此有 0 > n > f； 如果相机看向 +z 的方向，那么 0 < n < f，并且投影矩阵公式也会有所不同，以下公式推导基于相机看向 -z 方向

直接计算这个变化有困难，可以考虑分成两步

第一步

将由（l,r,b,t,n,f）所表示的视锥体变换到由（l,r,b,t,n,f）所表示的 AABB，即把视锥体往中间压缩成一个长方体，且保持近平面和远平面的距离不变

i. 推导矩阵信息

任意点 p(x, y, z) 投影到近平面上的位置为 q(nx/z, ny/z, n)，我们取 q_x 和 q_y 作为压缩后的 x 和 y，而压缩之后的 z 暂且不管，即我们要求一个矩阵变换，使得：

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx/z \\ ny/z \\ ? \\ 1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ ? \\ z \end{pmatrix}$$

据此，可以推导出该矩阵的一部分信息

$$M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

ii. 计算矩阵第三行元素

我们可以知道，在近平面和远平面上的点，经过压缩变换之后 z 坐标的值保持不变，即

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ f \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ f \\ 1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} fx \\ fy \\ f^2 \\ f \end{pmatrix}$$

其中 x, y 是变量，而 n 是常量和 x, y 无关，因此矩阵第三行一定是 (0 0 A B) 的形式，因此有

$$\begin{aligned} An + B = n^2 \\ Af + B = f^2 \end{aligned} \,\Rightarrow\, \begin{aligned} A &= n + f \\ B &= -nf \end{aligned}$$

综上

$$M_{persp\rightarrow ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

第二步

将由（l,r,b,t,n,f）所表示的 AABB 变换到以原点为中心的标准 AABB，在 OpenGL 中标准 AABB 为 (-1,-1,-1) - (1,1,1)，在 DirectX 中标准 AABB 为 (-1,-1,0) - (1,1,1)

这一步其实就是前面正交投影变换的过程！

OpenGL

$$M_{ortho} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{2}{f - n} & \frac{n + f}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

DirectX

$$M_{ortho} = \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{1}{f - n} & \frac{n}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

第三步

$$P = M_{ortho}\cdot M_{persp\rightarrow ortho}$$

OpenGL

$$\begin{aligned} \mathbf{P}_{p[-1,1]} = M_{ortho}\cdot M_{persp\rightarrow ortho} &= \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{2}{f - n} & \frac{n + f}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\[3px] 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\[3px] 0 & 0 & -\frac{n + f}{n - f} & \frac{2nf}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

DirectX

$$\begin{aligned} \mathbf{P}_{p[0,1]} = M_{ortho}\cdot M_{persp\rightarrow ortho} &= \begin{pmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & \frac{l + r}{l - r} \\[3px] 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & \frac{b + t}{b - t} \\[3px] 0 & 0 & \frac{1}{f - n} & \frac{n}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2n}{r - l} & 0 & \frac{l+r}{l-r} & 0 \\[3px] 0 & \frac{2n}{t - b} & \frac{b+t}{b-t} & 0 \\[3px] 0 & 0 & -\frac{f}{n - f} & \frac{nf}{n - f} \\[3px] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

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相关信息

经过投影变换后，从相机坐标空间转换为 NDC 坐标空间

视口变换

提示

视口变换的目标是将 xy 坐标从 [-1, 1] x [-1, 1] 变换到 [0, width] x [0, height]，z 坐标保持不变

$$M_{viewport} = \begin{pmatrix} \frac{width}{2} & 0 & 0 & \frac{width}{2} \\[3px] 0 & \frac{height}{2} & 0 & \frac{height}{2} \\[3px] 0 & 0 & 1 & 0 \\[3px] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$