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微平面理论

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微平面理论将粗糙的平面建模成为一组微平面的集合，每一个单独的微平面都非常小，无法被相机分辨，然而这些微平面的集合对于散射光的角度分布却有着巨大的影响。

微平面模型主要由两部分组成：

1. 微平面的法线统计分布
2. 微平面的 BSDF

除此之外，以下三个因素也会对光的散射产生影响：遮挡、阴影和微平面间的反射

微平面的法线统计分布

微平面的法线统计分布 NDF D(m) 表示法线等于 m 的微平面占所有微平面总面积的百分比，则 D(m)(n·m) 表示法线等于 m 的微平面占投影后总面积的百分比，因此 NDF 满足如下性质

NDF 性质 1

$$\int_{m\in \Theta} D(m)(n\cdot m) dm = 1$$

更一般地，投影到任意方向 v 满足如下性质

NDF 性质 2

$$\int_{m\in \Theta} D(m)(v\cdot m) dm = v\cdot n$$

另外我们可以看到，存在许多重叠的微平面会投影到同一个区域，正负相互抵消之后我们只关心可见的那一个微平面（即最接近投影平面的那一个）。我们定义遮挡函数 G₁(m,v) 表示在所有法线等于 m 的微平面中，在 v 方向上可见的微平面所占的比例，则有

NDF 性质 3

$$\int_{m\in \Theta} G_1(m,v)D(m)(v\cdot m)^+ dm = v\cdot n$$

遮挡函数

Heitz 证明了只有 Smith 遮挡函数和 Torrance-Sparrow "V-cavity" 函数满足以上性质且在数学上是有效的；进一步的，Heitz 还证明了只有 Smith 遮挡函数同时满足 normal-masking 独立性，即 G₁(m,v) 不依赖于法线方向 m 只要 m·v ≥ 0

Smith G₁ 函数

$$G_1(m,v) = \frac{\chi^+(m\cdot v)}{1+\Lambda(v)}$$

其中

$$\chi^+(x) = \begin{cases} 1,& \text{where } x > 0 \\ 0,& \text{where } x \le 0 \end{cases}$$

$\Lambda$ 函数对于每一个 NDF 都不同

注意

Smith 遮挡函数适用于随机表面，对于法线和遮挡有强依赖的表面（尤其是具有重复结构的表面，例如大多数织物），其准确性则会降低。

类似地，我们可以定义联合遮挡-阴影函数 G₂(l,v,m) 表示在所有法线等于 m 的微平面中，在 l 和 v 方向上都可见的微平面所占的比例

G₂ 函数有多种形式

1. 分离式

提示

$$G_2(l,v,m) = G_1(v,m)G_1(l,m)$$

该形式表示遮挡和阴影是不相关的事件，这是不符合现实的，因此会导致表面显示过暗

2. 方向相关

当 v 和 l 之间的水平夹角等于 0 时，G₂(l,v,m) 应该等于 min(G₁(m,v),G₁(m,l))，则

提示

$$G_2(l,v,m) = \lambda(\phi)G_1(v,m)G_1(l,m) + (1 - \lambda(\phi))min(G_1(v,m),G_1(l,m))$$

该等式表示了在分离式和高度相关之间的线性插值

3. 高度相关

高度越低的点被遮挡和阴影的概率越大，如果使用 Smith 遮挡函数，则可以用 Smith 高度相关遮挡-阴影函数来表示该关联

提示

$$G_2(l,v,m) = \frac{\chi^+(m\cdot v)\chi^+(m\cdot l)}{1+\Lambda(v)+\Lambda(l)}$$

4. 方向和高度相关

提示

$$G_2(l,v,m) = \frac{\chi^+(m\cdot v)\chi^+(m\cdot l)}{1+max(\Lambda(v),\Lambda(l))+\lambda(v,l)min(\Lambda(v),\Lambda(l))}$$