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微平面理论

相关信息

微平面理论将粗糙的平面建模成为一组微平面的集合，每一个单独的微平面都非常小，无法被相机分辨，然而这些微平面的集合对于散射光的角度分布却有着巨大的影响。

微平面模型主要由两部分组成：

  1. 微平面的法线统计分布
  2. 微平面的 BSDF

除此之外，以下三个因素也会对光的散射产生影响：遮挡、阴影和微平面间的反射

微平面的法线统计分布

微平面的法线统计分布 NDF D(m) 定义为：

dAm=D(m) dωm A dA_m = D(m)\, d\omega_m\,A

表示在宏观平面面积和方向角上的联合概率密度，进一步可以得到如下等式

1A∫(n⋅m) dAm=∫ΩD(m) (n⋅m) dωm \frac{1}{A} \int (n\cdot m)\,dA_m = \int_\Omega D(m)\,(n\cdot m)\,d\omega_m

当上述等式为 1 时， 即 ∫(n⋅m) dAm=A\int (n\cdot m)\,dA_m = A，表示所有微平面的投影面积之和等于宏观平面面积，则得出 NDF 需要满足的一个性质：

NDF 性质 1

∫m∈ΘD(m)(n⋅m)dm=1 \int_{m\in \Theta} D(m)(n\cdot m) dm = 1

更一般地，投影到任意方向 v 满足如下性质

NDF 性质 2

∫m∈ΘD(m)(v⋅m)dm=v⋅n \int_{m\in \Theta} D(m)(v\cdot m) dm = v\cdot n

另外我们可以看到，存在许多重叠的微平面会投影到同一个区域，正负相互抵消之后我们只关心可见的那一个微平面（即最接近投影平面的那一个）。我们定义遮挡函数 G₁(m,v) 表示在所有法线等于 m 的微平面中，在 v 方向上可见的微平面所占的比例，则有

NDF 性质 3

∫m∈ΘG1(m,v)D(m)(v⋅m)+dm=v⋅n \int_{m\in \Theta} G_1(m,v)D(m)(v\cdot m)^+ dm = v\cdot n

遮挡函数

Heitz 证明了只有 Smith 遮挡函数和 Torrance-Sparrow "V-cavity" 函数满足以上性质且在数学上是有效的；进一步的，Heitz 还证明了只有 Smith 遮挡函数同时满足 normal-masking 独立性，即 G₁(m,v) 不依赖于法线方向 m 只要 m·v ≥ 0

Smith G₁ 函数

G1(m,v)=χ+(m⋅v)1+Λ(v) G_1(m,v) = \frac{\chi^+(m\cdot v)}{1+\Lambda(v)}

其中

χ+(x)={1,where x>00,where x≤0 \chi^+(x) = \begin{cases} 1,& \text{where } x > 0 \\ 0,& \text{where } x \le 0 \end{cases}

Λ\Lambda 函数对于每一个 NDF 都不同

注意

Smith 遮挡函数适用于随机表面，对于法线和遮挡有强依赖的表面（尤其是具有重复结构的表面，例如大多数织物），其准确性则会降低。

类似地，我们可以定义联合遮挡-阴影函数 G₂(l,v,m) 表示在所有法线等于 m 的微平面中，在 l 和 v 方向上都可见的微平面所占的比例

G₂ 函数有多种形式

  1. 分离式

提示

G2(l,v,m)=G1(v,m)G1(l,m) G_2(l,v,m) = G_1(v,m)G_1(l,m)

该形式表示遮挡和阴影是不相关的事件，这是不符合现实的，因此会导致表面显示过暗

  1. 方向相关

当 v 和 l 之间的水平夹角等于 0 时，G₂(l,v,m) 应该等于 min(G₁(m,v),G₁(m,l))，则

提示

G2(l,v,m)=λ(ϕ)G1(v,m)G1(l,m)+(1−λ(ϕ))min(G1(v,m),G1(l,m)) G_2(l,v,m) = \lambda(\phi)G_1(v,m)G_1(l,m) + (1 - \lambda(\phi))min(G_1(v,m),G_1(l,m))

该等式表示了在分离式和高度相关之间的线性插值

  1. 高度相关

高度越低的点被遮挡和阴影的概率越大，如果使用 Smith 遮挡函数，则可以用 Smith 高度相关遮挡-阴影函数来表示该关联

提示

G2(l,v,m)=χ+(m⋅v)χ+(m⋅l)1+Λ(v)+Λ(l) G_2(l,v,m) = \frac{\chi^+(m\cdot v)\chi^+(m\cdot l)}{1+\Lambda(v)+\Lambda(l)}

  1. 方向和高度相关

提示

G2(l,v,m)=χ+(m⋅v)χ+(m⋅l)1+max(Λ(v),Λ(l))+λ(v,l)min(Λ(v),Λ(l)) G_2(l,v,m) = \frac{\chi^+(m\cdot v)\chi^+(m\cdot l)}{1+max(\Lambda(v),\Lambda(l))+\lambda(v,l)min(\Lambda(v),\Lambda(l))}

基于微平面的 BRDF 模型

推导

  1. 根据 BRDF 定义

f(l,v)=dL(M)Li ∣n⋅l∣ dωi \begin{aligned} f(l, v) &= \frac{dL(M)}{L_i\,|n\cdot l|\,d\omega_i} \end{aligned}

  1. 将宏观平面 L(M)L(M) 用微平面 L(m)L(m) 来表示 (每个微平面投影的 Irradiance 总和除以投影面积)，其中 Do(m)D_o(m) 表示在投影方向上的可见法线分布

L(M)=1∣n⋅v∣∫ΩL(m) G1(l,v) ∣m⋅v∣ D(m) dm=∫ΩL(m) Do(m) dm \begin{aligned} L(M) &= \frac{1}{|n\cdot v|} \int_\Omega L(m)\,G_1(l,v)\,|m\cdot v|\, D(m)\,dm \\ &= \int_\Omega L(m)\,D_o(m)\,dm \end{aligned}

  1. 对上式进行微分

dL(M)=∫ΩdL(m) Do(m) dm dL(M) = \int_\Omega dL(m)\,D_o(m)\,dm

  1. 同样根据 BRDF 定义，微平面 L(m)L(m) 可以表示为

dL(m)=fμ(l,v,m) ∣m⋅l∣ Li dωi dL(m) = f_\mu(l,v,m)\,|m\cdot l|\,L_i\,d\omega_i

  1. 结合 3，4 可得

dL(M)=∫Ωfμ(l,v,m) cosθi Li dωi Do(m) dm=Li dωi∫Ωfμ(l,v,m) ∣m⋅l∣ Do(m) dm \begin{aligned} dL(M) &= \int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,cos\theta_i\,L_i\,d\omega_i\,D_o(m)\,dm \\ &= L_i\,d\omega_i\int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,|m\cdot l|\,D_o(m)\,dm \end{aligned}

  1. 结合 1，5 可得

f(l,v)=Li dωi∫Ωfμ(l,v,m) ∣m⋅l∣ Do(m) dmLi ∣n⋅l∣ dωi=1∣n⋅l∣∫Ωfμ(l,v,m) ∣m⋅l∣ Do(m) dm=1∣n⋅l∣1∣n⋅v∣∫Ωfμ(l,v,m) ∣m⋅l∣ G1(l,v) ∣m⋅v∣ D(m) dm \begin{aligned} f(l,v) &= \frac{L_i\,d\omega_i\int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,|m\cdot l|\,D_o(m)\,dm}{L_i\,|n\cdot l|\,d\omega_i} \\ &= \frac{1}{|n\cdot l|}\int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,|m\cdot l|\,D_o(m)\,dm \\ &= \frac{1}{|n\cdot l|}\frac{1}{|n\cdot v|} \int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,|m\cdot l|\,G_1(l,v)\,|m\cdot v|\,D(m)\,dm \end{aligned}

我们使用 G2G_2 代替 G1G_1

提示

f(l,v)=1∣n⋅l∣1∣n⋅v∣∫Ωfμ(l,v,m) G2(l,v,m) D(m) ∣m⋅l∣ ∣m⋅v∣ dm f(l,v) = \frac{1}{|n\cdot l|}\frac{1}{|n\cdot v|} \int_\Omega f_\mu(l,v,m)\,G_2(l,v,m)\,D(m)\,|m\cdot l|\,|m\cdot v|\,dm

其中 n 是宏观平面的法线，m 是微平面的法线

基于 specular 微平面的 BRDF

specular BSDF 反射一部分入射光的能量到方向 ss 上，可以写成

fs(i,o,m)=ρ δωo(s,o)∣o⋅m∣ f_s(i,o,m) = \rho\,\frac{\delta_{\omega_o}(s,o)}{|o\cdot m|}

其中

δωo(s,o)={∞,s=o0,otherwise \delta_{\omega_o}(s,o) = \left\{ \begin{align} \infty, &\quad s = o \notag \\ 0, &\quad \text{otherwise} \notag \end{align} \right.

又 fs(i,o,m)f_s(i,o,m) 是以出射方向 ss 为积分变量， 为了代入上一节的方程，我们需要使用微平面的法线和其对应的立体角作为积分变量

fs(i,o,m)=ρ δωm(h(i,o),m)∣o⋅m∣ ∥∂ωh∂ωo∥=ρ δωm(h(i,o),m)∣o⋅m∣ 14∣o⋅h∣ \begin{aligned} f_s(i,o,m) &= \rho\,\frac{\delta_{\omega_m}(h(i, o),m)}{|o\cdot m|}\,\Big\|\frac{\partial \omega_h}{\partial \omega_o}\Big\| \\ &= \rho\,\frac{\delta_{\omega_m}(h(i, o),m)}{|o\cdot m|}\,\frac{1}{4|o\cdot h|} \end{aligned}

相关信息

∥∂ωh∂ωo∥=∣o⋅hr∣∥hr⃗2∥=∣o⋅hr∣(hr⃗⋅hr)2=∣o⋅hr∣((i+o)⋅hr)2=∣o⋅hr∣(2 o⋅hr)2=14∣o⋅h∣ \begin{aligned} \Big\|\frac{\partial \omega_h}{\partial \omega_o}\Big\| &= \frac{|o\cdot h_r|}{\|\vec{h_r}^2\|} = \frac{|o\cdot h_r|}{(\vec{h_r}\cdot h_r)^2} \\ &= \frac{|o\cdot h_r|}{((i+o)\cdot h_r)^2} = \frac{|o\cdot h_r|}{(2\,o\cdot h_r)^2} \\ &= \frac{1}{4|o\cdot h|} \end{aligned}

代入可得

提示

f(l,v)=1∣n⋅l∣1∣n⋅v∣∫ΩF(m,l) δωm(h(l,v),m)∣m⋅v∣ 14∣m⋅l∣ G2(l,v,m) D(m) ∣m⋅l∣ ∣m⋅v∣ dm=F(h,l) G2(l,v,h) D(h)4∣n⋅l∣∣n⋅v∣ \begin{aligned} f(l,v) &= \frac{1}{|n\cdot l|}\frac{1}{|n\cdot v|} \int_\Omega F(m,l)\,\frac{\delta_{\omega_m}(h(l, v),m)}{|m\cdot v|}\,\frac{1}{4|m\cdot l|}\,G_2(l,v,m)\,D(m)\,|m\cdot l|\,|m\cdot v|\,dm \\[3px] &= \frac{F(h,l)\,G_2(l,v,h)\,D(h)}{4|n\cdot l||n\cdot v|} \end{aligned}

基于 diffuse 微平面的 BRDF

fd(i,o,m)=1π f_d(i,o,m) = \frac{1}{\pi}

代入可得

提示

f(l,v)=1π1∣n⋅l∣1∣n⋅v∣∫ΩG2(l,v,m) D(m) ∣m⋅l∣ ∣m⋅v∣ dm f(l,v) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{|n\cdot l|}\frac{1}{|n\cdot v|} \int_\Omega G_2(l,v,m)\,D(m)\,|m\cdot l|\,|m\cdot v|\,dm

基于物理的遮挡函数

Smith 微平面 Profile

法线/遮挡独立性

Smith 假定微平面上不同点之间的法线或者高度是不相关的（即使是相邻点之间），是一组随机的不连续的微平面的集合。

G1(ωo,ωm)G_1(\omega_o,\omega_m) 可以理解为被遮挡的概率，其独立于该点处的法线方向 ωm\omega_m，因此可以表示为

G1(ωo,ωm)=G1local(ωo,ωm) G1dist(ωo) G_1(\omega_o,\omega_m) = G_1^{local}(\omega_o,\omega_m)\,G_1^{dist}(\omega_o)

其中

G1local=χ+(ωo⋅ωm) G_1^{local} = \chi^+(\omega_o\cdot \omega_m)

遮挡函数公式推导

cosθo=∫ΩG1(ωo,ωm) (ωo,ωm)+ D(ωm) dωm=∫ΩG1local(ωo,ωm) G1dist(ωo) (ωo,ωm)+ D(ωm) dωm=∫Ωχ+(ωo⋅ωm) G1dist(ωo) (ωo,ωm)+ D(ωm) dωm=G1dist(ωo) ∫Ω(ωo,ωm)+ D(ωm) dωm \begin{aligned} cos\theta_o &= \int_\Omega G_1(\omega_o,\omega_m)\,(\omega_o,\omega_m)^+\,D(\omega_m)\,d\omega_m \\ &= \int_\Omega G_1^{local}(\omega_o,\omega_m)\,G_1^{dist}(\omega_o)\,(\omega_o,\omega_m)^+\,D(\omega_m)\,d\omega_m \\ &= \int_\Omega \chi^+(\omega_o\cdot\omega_m)\,G_1^{dist}(\omega_o)\,(\omega_o,\omega_m)^+\,D(\omega_m)\,d\omega_m \\ &= G_1^{dist}(\omega_o)\,\int_\Omega (\omega_o,\omega_m)^+\,D(\omega_m)\,d\omega_m \\ \end{aligned}

可得

G1(ωo,ωm)=χ+(ωo⋅ωm)cosθo∫Ω(ωo,ωm)+ D(ωm) dωm G_1(\omega_o,\omega_m) = \chi^+(\omega_o\cdot\omega_m) \frac{cos\theta_o}{\int_\Omega (\omega_o,\omega_m)^+\,D(\omega_m)\,d\omega_m}

Smith 遮挡函数

通过将积分域从法线变换到斜率空间，可以证明 Smith 遮挡函数可以表示成

G1dist(ωo,ωm)=11+Λ(ωo) G_1^{dist}(\omega_o,\omega_m) = \frac{1}{1 + \Lambda(\omega_o)}

即

G1(ωo,ωm)=χ+(ωo⋅ωm)1+Λ(ωo) G_1(\omega_o,\omega_m) = \frac{\chi^+(\omega_o\cdot\omega_m)}{1+\Lambda(\omega_o)}

遮挡函数的拉伸不变性

斜率分布

如果微平面是一个高度场，其高度分布表示为 P1(h)P^1(h)，那么这个微平面的斜率就是高度的梯度，(xm~,ym~)=∇h(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}}) = \nabla h， 斜率的分布可以表示为 P22(xm~,ym~)P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})

m~=(xm~,ym~)=(−xmzm,−ymzm)=−tanθm(cosϕm,sinϕm) \tilde{m} = (x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}}) = \left(-\frac{x_m}{z_m},-\frac{y_m}{z_m}\right) = -tan\theta_m(cos\phi_m,sin\phi_m)

其中法线 ωm=(xm,ym,zm)\omega_m=(x_m,y_m,z_m) 也可以用斜率表示为

ωm=(−xm~,−ym~,1)xm~2+ym~2+1 \omega_m = \frac{(-x_{\tilde{m}},-y_{\tilde{m}},1)}{\sqrt{x^2_{\tilde{m}}+y^2_{\tilde{m}}+1}}

斜率分布必须满足归一化

∫−∞∞∫−∞∞P22(xm~,ym~) dxm~dym~=1 \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty P^{22} (x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})\,dx_{\tilde{m}}dy_{\tilde{m}} = 1

又斜率分布和法线分布之间满足如下等式

P22(m~) dm~=(ωm⋅ωg) D(ωm) dωm P^{22}(\tilde{m})\,d\tilde{m} = (\omega_m\cdot\omega_g)\,D(\omega_m)\,d\omega_m

则法线分布可以表示为

D(ωm)=P22(xm~,ym~)cos4θm D(\omega_m) = \frac{P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}})}{cos^4\theta_m}

各向同性且形状不变的斜率分布

P22(xm~,ym~,α)=1α2f((xm~α)2+(ym~α)2)=1α2f(xm~2+ym~2α)=1α2f(tanθmα) P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}},\alpha) = \frac{1}{\alpha^2}f\left(\sqrt{(\frac{x_{\tilde{m}}}{\alpha})^2+(\frac{y_{\tilde{m}}}{\alpha})^2}\right) = \frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\sqrt{x_{\tilde{m}}^2+y_{\tilde{m}}^2}}{\alpha}\right) = \frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{tan\theta_m}{\alpha}\right)

其中 ff 是一维函数定义了分布的形状，α\alpha 是粗糙度参数

  1. Beckmann Distribution

    P22(xm~,ym~)=1πα2exp(−xm~2+ym~2α2)D(ωm)=χ+(ωm⋅ωg)πα2cos4θmexp(−tan2θmα2)Λ(a)=erf(a)−12+12aπexp(−a2) \begin{aligned} P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}}) &= \frac{1}{\pi\alpha^2}exp\left(-\frac{x_{\tilde{m}}^2+y_{\tilde{m}}^2}{\alpha^2}\right) \\ D(\omega_m) &= \frac{\chi^+(\omega_m\cdot\omega_g)}{\pi\alpha^2cos^4\theta_m}exp\left(-\frac{tan^2\theta_m}{\alpha^2}\right) \\ \Lambda(a) &= \frac{erf(a) - 1}{2} + \frac{1}{2a\sqrt{\pi}}exp(-a^2) \end{aligned}

    其中 a=1α tanθoa = \frac{1}{\alpha\,tan\theta_o}，α\alpha 控制平面的粗糙度，其正比于微平面斜率的均方根，等于0时表示完全光滑

Λ(a)≈{1−1.249a+0.396a23.535a+2.181a2if a<1.60otherwise \Lambda(a) \approx \left\{ \begin{align} \quad&\frac{1-1.249a+0.396a^2}{3.535a+2.181a^2} &\quad \text{if } a < 1.6 \notag \\ \quad&0 &\quad \text{otherwise} \notag \end{align} \right.

  1. GGX Distribution

    P22(xm~,ym~)=1πα2(1+xm~2+ym~2α2)2D(ωm)=χ+(ωm⋅ωg)πα2cos4θm(1+tan2θmα2)2Λ(a)=−1+1+1a22 \begin{aligned} P^{22}(x_{\tilde{m}},y_{\tilde{m}}) &= \frac{1}{\pi\alpha^2\left(1 + \frac{x_{\tilde{m}}^2+y_{\tilde{m}}^2}{\alpha^2}\right)^2} \\ D(\omega_m) &= \frac{\chi^+(\omega_m\cdot\omega_g)}{\pi\alpha^2cos^4\theta_m\left(1+\frac{tan^2\theta_m}{\alpha^2}\right)^2} \\ \Lambda(a) &= \frac{-1+\sqrt{1 + \frac{1}{a^2}}}{2} \end{aligned}

    其中 a=1α tanθoa = \frac{1}{\alpha\,tan\theta_o}，在迪士尼着色模型中使用 a=r2a = r^2 来控制粗糙度，其中 r∈[0,1]r \in [0,1]

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